Cho \(a,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \({{\log...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi giả thiết để sử dụng được hàm đặc trưng. Xét tính chất của hàm đặc trưng từ đó tìm được mối liên hệ của \(a,b\).

Biến đổi biểu thức \(T\) rồi đánh giá \(T\) theo hằng đẳng thức.

Giải chi tiết:

Ta có \({{\log }_{5}}\left( \frac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4\)\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)-{{\log }_{5}}\left( a+b \right)=a+3b-4\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( a+b \right)+5a+5b+1\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( 5a+5b \right)+\left( 5a+5b \right)\).

Xét hàm \(f\left( x \right)={{\log }_{5}}x+x;x>0\) có \({f}'\left( x \right)=\frac{1}{x\ln 5}+1>0;\forall x>0\) suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên tập xác định.

Khi đó \(f\left( 4a+2b+5 \right)=f\left( 5a+5b \right)\Leftrightarrow 4a+2b+5=5a+5b\Leftrightarrow a=-3b+5\).

Xét \(T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( -3b+5 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=10{{b}^{2}}-30b+25={{\left( \sqrt{10}b-\frac{15}{\sqrt{10}} \right)}^{2}}+\frac{5}{2}\ge \frac{5}{2}\)

Vậy \(\min T = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{3}{2}\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Chọn B.