Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp dựng hình

Giải chi tiết:

Theo giả thiết, ta có \(SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(AC\bot CD.\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\,\,\Rightarrow \,\,ABCM\) là hình vuông.

\(BM\)//\(CD\)\(\Rightarrow \,\,CD//mp\,\,\left( SBM \right)\)

\(\Rightarrow \,\,d\left( SB;CD \right)=d\left( CD;\left( SBM \right) \right)=d\left( C;\left( SBM \right) \right)=d\left( A;\left( SBM \right) \right).\)

Gọi \(I\) là tâm hình vuông \(ABCM,\) kẻ \(AH\bot SI\)  \(\left( H\in SI \right).\)

Do đó \(AH\bot \left( SBM \right)\,\,\Rightarrow \,\,d\left( A;\left( SBM \right) \right)=AH=\frac{SA.IA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+I{{A}^{2}}}}\)

Mà \(SA=a\sqrt{2};\,\,IA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)\(\Rightarrow \,\,AH=\frac{a\sqrt{10}}{5}.\)

Vậy \(d\left( SB;CD \right)=\frac{a\sqrt{10}}{5}.\)

Chọn C