Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Nhân cả 2 vế với \({e^{{x^2}}}\). Lấy nguyên hàm 2 vế sau đó xác định hàm số \(f\left( x \right)\).

+) Từ giả thiết \(f\left( 0 \right) = 0\) tính hằng số C, từ đó tính \(f\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) + 2x.f\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow {e^{{x^2}}}\left[ {f'\left( x \right) + 2x.f\left( x \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow {e^{{x^2}}}f'\left( x \right) + 2x.f\left( x \right){e^{{x^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right).{e^{{x^2}}}} \right)' = 1\\ \Leftrightarrow f\left( x \right).{e^{{x^2}}} = x + C \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {x + C} \right){e^{ - {x^2}}}\end{array}\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = x{e^{ - {x^2}}} \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1.{e^{ - 1}} = \dfrac{1}{e}\).

Chọn D.