Cho

Câu hỏi: Cho $m \in [0; 2]$ biểu thức $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} |x - m| d x$ nhỏ nhất khi:

A. m = 0

B. m = 1

C. $m = \frac{π}{4}$

D. m = 2

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} |x - m| d x = \int_{0}^{m} |x - m| d x + \int_{m}^{\frac{π}{2}} |x - m| d x \\ = \int_{0}^{m} (x - m) d x + \int_{m}^{\frac{π}{2}} (x - m) d x \\ = {(m x - \frac{x^{2}}{2})|}_{0}^{m} + {(m x - \frac{x^{2}}{2})|}_{m}^{\frac{π}{2}} \\ = (m^{2} - \frac{m^{2}}{2}) + (\frac{π^{2}}{8} - \frac{m π}{2}) - (\frac{m^{2}}{2} - m^{2}) \\ = m^{2} - \frac{m}{2} π + \frac{π^{2}}{8} = {(m - \frac{π}{4})}^{2} + \frac{π^{2}}{16} \geq \frac{π^{2}}{16} \end{array}$