Biết số phức z thỏa mãn điều kiện

- Hướng dẫn giải

Đáp án cần chọn là: C.

Đặt $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Theo bài ra ta có:

$$\begin{gathered} \frac{5\left(\overline{z}+i\right)}{z+1}=2-i \\ \Rightarrow \frac{5\left(a-bi+i\right)}{a+bi+1}=2-i \\ \iff 5\left[a-\left(b-1\right)i\right]=\left(a+1+bi\right)\left(2-i\right) \\ \iff 5a-5\left(b-1\right)i=2\left(a+1\right)+b+\left(2b-a-1\right)i \\ \iff \left\{\begin{array}{l}5a=2a+2+b\\ 5-5b=2b-a-1\end{array}\Rightarrow a=b=1\right. \\ \Rightarrow z=1+i\Rightarrow z^2=2i \\ \Rightarrow w=1+z+z^2=1+1+i+2i=2+3i \end{gathered}$$

Vậy $\left|w\right|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$.