Bất đẳng thức cosi và các dạng bài thường gặp trong chương trình học

Hướng dẫn giải

Bất đẳng thức cosi và các dạng bài thường gặp trong chương trình học

Với bài học hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về một dạng lý thuyết mới mà có lẽ cũng không còn lạ lẫm với chương trình Đại số và Giải tích Bậc Trung học phổ thông. Đó chính là công thức về bất đẳng thức cosi, lý thuyết dùng cho việc giải quyết và chứng minh các bài tập về đẳng thức hoặc bất đẳng thức. Để làm quen với dạng bài tập này hãy cùng chúng tôi đào sâu vào một số nội dung chính sau đây nhé!

I. Công thức Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân

Trong toán học, bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Với n số thực không âm:

\(\dfrac {x_1+x_2+...+x_n}{n}\geq \sqrt[n]{x_1.x_2.....x_n}\)

Lưu ý: n là số tự nhiên lớn hơn 1

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x_1=x_2=...=x_n\)

Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm

\({\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b

Bất đẳng thức Cosi 3 số không âm

\(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm

\(\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d

Bất đẳng thức Cosi cho n số không âm

Với n số thực không âm:

\(\dfrac {x_1+x_2+...+x_n}{n}\geq \sqrt[n]{x_1.x_2.....x_n}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x_1=x_2=...=x_n\)

II. Chứng minh Bất đẳng thức Cosi

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Ta thấy với a = 0 hoặc b = 0 thì ta thấy bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy chúng ta chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương như sau:

\(\dfrac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}\)
\(\leftrightarrow a+b≥2\sqrt{ab}\)

\(\leftrightarrow a−2\sqrt{ab}+b≥0\)

\(\leftrightarrow(\sqrt{a}−\sqrt{b})2≥0 \) ( vì a, b >0) luôn đúng

Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với \(\forall a,b>0\) (đpcm)

Chứng minh bất đẳng thức Cosi 3 số thực a, b, c không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c= 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy chúng ta chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương như sau:

Đặt:
\(x=\sqrt[3]{a},y=\sqrt[3]{b},z=\sqrt[3]{c}\)
Suy ra:
\(x,y,z>0\)
Suy ra:
\(x+y+z\ge0\)
Bất đẳng thức quy về:
\((x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\ge0\)

\((x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]–3xy(x+y+z)≥0\)

\((x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy–xz–yz)–3xy(x+y+z)≥0\)

\((x+y+z)(x^2+y^2+z^2–xy–yz–zx)≥0\)

\((x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2–2xy–2yz–2zx)≥0\)

\((x+y+z)[(x–y)^2+(y–z)^2+(x–z)^2]≥0,(∀x,y,z≥0)\)

Dấu “=” sảy ra khi \(x=y=z \leftrightarrow a=b=c.\)

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c= 0 hoặc d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Vì vậy chúng ta chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số dương như sau:

\(a+b+c+d≥2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}≥4\sqrt[4]{abcd}\)

\((\dfrac{a+b+c+d}{4})^4\ge abcd\)
Thay:
\(d=\dfrac{a+b+c}{3}\)
Nên ta được bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

n=2 thì Bất đẳng thức luôn đúng theo chứng minh trên.
Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số.
Chứng minh đơn giản vì:
\(x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}+n\sqrt[n]{x_{n+1}.x_{n+2}...x_{2n}}\ge 2n\sqrt[2n]{x_1.x_2...x_n}\)
Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.
Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n-1 số như sau:
Theo bất đẳng thức cosi cho n số:
\(x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\)
Chọn:

\(x_n=\dfrac{s}{n–1},s=x_1+x_2+….+x_n\)

\(\rightarrow s\ge(n-1)\sqrt[n-1]{x_1.x_2...x_n}\)
Ta có đpcm.

III. Bài tập Bất đẳng thức Cosi có lời giải

Bài 1: Bài toán thuận

Chứng minh rằng với mọi x>1 ta có: \(4x-5+\dfrac{1}{x-1}\ge3\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải:

Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng \(\dfrac{1}{x-1}\) nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của x-1. Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
\(4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1}-1\) (*)
Vì x>1 nên x-1>0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương \(4(x-1),\dfrac{1}{x-1}\), ta có:
\(4(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\ge 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}\)
Hay \(4(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\ge 2\sqrt{4}=4\). (**)
Kết hợp (*) và (**), suy ra:
\(4x-5+\dfrac{1}{x-1}\ge4-1=3\).
Vậy \(4x-5+\dfrac{1}{x-1}\ge3(đpcm)\) (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra \(\leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}\)
\(\leftrightarrow4(x-1)^2=1\leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}\)
\(\leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2}\) (do x-1>0)
\(\leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\).

Bài 2: Dạng bài toán ngược của bài 1.

Chứng minh rằng  \((x-1)(5-x)\le4,\forall x\in[1;5]\)

Lời giải:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, ta quan tâm đến công thức \((\dfrac{a+b}{2})^2\ge ab\) (*)
Quay lại bài tập này, \(\forall x\in [1;5]\) thì \(x-1\ge0,5-x\ge0\). Vậy áp dụng BĐT (*) cho hai số không âm này ta có:
\((\dfrac{x-1+5-x}{2})^2\ge(x-1)(5-x)\)
\(\leftrightarrow 4\ge(x-1)(5-x)\). (đpcm)
Dấu “=” xảy ra \(\leftrightarrow x-1=5-x\leftrightarrow x=3\)

IV. Một số phương pháp luyện các bài liên quan đến bất đẳng thức Cosi

Dưới đây là một số tips để nắm chắc kiến thức liên quan đến dạng bài tập này:

  • Nắm chắc kiến thức nền tảng tại Bất đẳng thức Cauchy ( Cô-si)
  • Luyện tập các bài toán về bất đẳng thức Cosi có sẵn trong sách giáo khoa hoặc sách tham khảo. Tham khảo các bài tập về bất đẳng thức và bất phương trình có liên quan đến lý thuyết này, đặc biệt chúng tôi đã tổng hợp đáp án chương IV, Toán lớp 10 tại Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình. - Toán lớp 10
  • Tham gia trao đổi trên lớp, làm bài tập nhóm và hỏi ý kiến thầy cô cùng là một phương pháp học rất tốt được nhiều học sinh áp dụng.
  • Tìm hiểu thêm các bài giảng dạy, các bài chữa bài tập trên các trang mạng xã hội liên quan đến học tập, ví dụ như Cùng học vui,...
  • Ngoài ra, để nâng cao số điểm, cách tốt nhất là tham khảo thêm các kiến thức toán học liên quan Công thức Toán học hoặc làm các bài tập nâng cao rèn luyện thêm kỹ năng làm bài liên quan đến phần áp dụng bất đẳng thức cosi tại Toán lớp 10 Nâng cao.

Trên đây là một số công thức tổng hợp và một số những lưu ý chúng tôi tổng hợp được từ quá trình tìm hiểu và khảo sát quá trình học tập của các học sinh về việc tiếp cận với dạng bài mới. Hy vọng những thông tin  trên sẽ là sự lựa chọn tối ưu và hữu ích cho bạn đọc trong quá trình ôn luyện. Chúng tôi luôn mong muốn cung cấp những thông tin cần thiết nhất một cách ngắn gọc và súc tích để các bạn có thể dễ dàng theo dõi. Mọi ý kiến đóng góp có thể để dưới mục bình luận, chúng tôi sẽ cố gắng khắc phục và hoàn thiện. Cảm ơn sự quan tâm của bạn đọc!

 

 

Tags bất đẳng thức cosi bất đẳng thức cosi lớp 9 bất đẳng thức cosi 3 số chứng minh bất đẳng thức cosi bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải

Có thể bạn quan tâm